數學家如何在娛樂城做到「十賭十贏」?

數學家如何在娛樂城做到「十賭十贏」?

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娛樂城不怕你贏,就怕你不來,因為賭場遊戲基本都是「久賭必輸」。很多玩家迷信「運氣」,而經營賭場的人相信概率,這就是輸家和贏家的差別。

娛樂城應該怎麼玩?

例如輪盤賭,博彩中玩家可以押任何一個數字,如果轉盤上的小球正好停在這個數字上,賭場賠35倍。聽著很誘人對吧?電影《卡薩布蘭卡》中那個從歐洲逃難出來的小青年接連押中幾手22,去美國的旅費就有了。實際情況如何呢?我們來簡單分析一下。

如果只有1-36這36個數字,那麼玩家每次押1元,平均每36把贏一次,贏的35元正好抵消另外35把輸的錢。但賭場在輪盤左邊加了個「0」,玩家的贏面變成了1/37,贏的35元不足以抵消另外36把輸的錢,賭場占據了1/37 = 2.70%的概率優勢,也就是說玩家每押100元,平均要輸2.7元。

這還是「仁慈」的歐洲式輪盤賭,美國人覺得還不夠黑,又加了個「00」。現在平均38把押中一次,玩家的劣勢擴大了到5.3%。

除了押單個數字,輪盤賭還有押紅黑等其他玩法。無論是1賠35的單個數字,還是1賠1的押紅黑,賭場的贏面都一樣。但兩者之間仍有個重要差別:押單個數字的輸贏波動顯然比押紅黑大的多。

此處先簡單提一句:贏面和波動性是賭博和投資中極為關鍵的兩點。 「久賭必輸」的賭博最好不要碰,實在要玩就挑輸贏波動性大的;「久賭必贏」的投資則應該選波動性小的。關於這個原理,後文將詳細討論。

回到賭博,絕大部分賭場遊戲都設計的和輪盤賭類似:賭場擁有概率優勢。這些遊戲中,玩家如果只玩幾手還可能靠「運氣」贏點錢,長期玩下去幾乎必輸,數學中稱之為「大數定理」(Law of Large Numbers)。然而賭場機關算盡,還是被數學家找到了一處破綻。

賭博天才橫世出

1960年代初,一位名叫索普(Edward Thorp)的美國數學家利用剛出現不久的計算機找到了21點遊戲中的機會,發展出一套通過計牌(card counting)打敗賭場的方法。索教授理論付諸實踐,用自己的計牌法連連大勝賭場,很快上了黑名單,眼看賭不成了,於是索某人乾脆就寫了一本書!然後大徹大悟,上華爾街發財去了,後來又在對沖基金領域闖出了一片天地。索某達人也!

這本書就是《戰勝莊家》(Beat the Dealer)——狂銷70萬冊,榮登《紐約時報》暢銷書榜。這就是成為當時賭徒們最愛看的一本書了。

索普計牌法的原理並不難。先講講21點的規則:玩家和莊家(賭場)對賭,看誰手中牌的點數之和更接近(但不能超過)21點。 10,J,Q,K都算十點,2至9 按各自點數計算,A可以算1點也可以算11點。例如下面的一手牌可以算8點,也可以算18點。

娛樂城牌局開始,玩家和莊家各發兩張牌,莊家的牌一明一暗(例如下圖)。然後玩家先做決定:可以抓牌,做加倍等特殊行動,或在任何時候選擇「停」。如果玩家超過21點(爆牌)就直接輸了,否則「停」後輪到莊家行動。莊家不能「見機行事」,只能按固定規則:手中的牌達到17點或以上必須「停」,否則必須抓。最後雙方比誰的牌更接近21點。

此外還有個特殊規定:一張A和一張十點牌(10,J,Q,K)叫「黑傑克」(Blackjack),拿到者直接取勝。如果玩家拿到黑傑克,可贏取1.5倍籌碼。莊家拿到黑傑克只能贏取1倍籌碼。

很明顯,21點遊戲中莊家和玩家各有優勢。莊家的優勢在「後發制人」:玩家如果先爆牌,莊家可以不戰而勝。而玩家的優勢在於靈活機動,可以根據自己的牌和莊家暴露的那張牌決定戰術。此外,黑傑克3:2的賠率也有利於玩家。

十點牌和A越多,出現黑傑克的機會越多,也越容易爆牌,玩家「機動靈活」的優勢更有價值。反之,3,4,5,6等小牌越多,爆牌的可能性越小,對莊家比較有利。索普時代的21點多用1副或2副撲克牌,當牌剛洗好時,賭場占據0.5%左右的概率優勢。妙處在於,隨著牌局進行,某些時候大牌和A的比例會變高,概率會轉為對玩家有利。索普戰勝賭場的方法就是:通過計牌估算概率,當形勢有利時下大賭注!

數學家是如何下注的呢?

形勢有利時如何下注很需要技巧。 押太少了浪費機會,押太多了「犧牲」的風險大增。 什麼才是不多不少的合適賭注呢? 1956年,科學家凱利(John Kelly)就此發表了論文,提出了著名的凱利公式

f* = (bp – q) / b

其中,f* = 投注金額占總資金的比例

p = 獲勝的概率

q = 失敗的概率,q = 1-p

b = 賠率,例如在輪盤賭中押單個數字,b = 35,押紅黑,b = 1。

上文中講到的21點下注問題,假設總賭本10,000美元,玩家取勝的概率是51%,賠率1:1(實際勝率和賠率略有偏差,但相距不大),那麼凱利公式給出的最佳賭注是:

$10000 * (1 * 0.51 – 0.49)/ 1 = $200

我知道很多人看到數學公式就頭大,但要玩好賭博和投資沒法不用到數學。 最重要的不在於帶公式計算數字,而是要弄明白公式背後真正的「意思」。

首先,公式中分子的bp – q 代表「贏面」,數學中叫「期望值」(expectation),凱利公式指出:正期望值的遊戲才可以下注,這是一切賭戲和投資最基本的道理,也就是前面講的「沒有把握,決不下注」。

其次,贏面還要除以「b」才是投注資金比例。 也就是說贏面相同的情況下,賠率越小越可以多押注。 這一點不容易直觀理解,我們用個例子來說明。 下面三個正期望值的遊戲,你看看選哪個:

  1. 「小博大」:勝率20%,贏了1賠5,輸了全光。bp – q = 5*20% – 80% = 20%
  2. 「中博中」:勝率60%,1賠1。bp – q = 1*60% – 40% = 20%
  3. 「大博小」:勝率80%,1賠0.5。bp – q = 0.5*80% – 20% = 20%

三個遊戲的數學期望值一樣,都是20%,或者說押100元平均贏20元。 按大部分國人的賭性,恐怕會選「小博大」遊戲吧? 但是用凱利公式中的「b」一除,「小博大」遊戲只能押總資金的4%,「中博中」可以押20%,「大博小」可以押40%。 贏錢速度「大博小」快多了! 前面不是講過「久賭必贏的遊戲應該選波動性小的」嗎? 說的就是這個了。

現實中,愛玩「小博大」的多半是賭客。 誰愛玩「大博小」呢? 賭場! 華爾街的職業投資家們很多玩的也是「大博小」,因為便於使用槓桿(押大賭注)。

最後,凱利公式指明了風險控制的至關重要性:即便是正期望值的遊戲也不能押太大的賭注。

從數學上講,押注資金比例超過了凱利值,長期的贏錢速度反而下降,還會大大增加出現災難性損失的可能性。 舉個極端的例子,如果你每手都押上全部資金,那麼不管你贏過多少錢,只要輸一次就立刻破產。正所謂:辛辛苦苦幾十年,一夜回到解放前。

常言道:小賭怡情,大賭傷身。縱使是數學家也不可能永遠都是勝利的。你認為呢?

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